Titel Englisch: Fundamentals of analysis (Analysis I and II)

Bereich: Ba Grundlagenbereich

Pflichtmodul

Schwerpunkt: -

ESSEN

Studierbar ab Fachsemester: B1

ECTS-Punkte: 18,

Prüfungsform: Das erste Semester wird durch eine Klausur "Analysis I" über den Stoff der Vorlesungen und Übungen abgeschlossen. Das Modul wird durch eine mündliche Prüfung über den gesamten Stoff abgeschlossen; Zulassungsvoraussetzung für die mündliche Prüfung ist das Bestehen der Klausur "Analysis I". Der Vorlesende kann die Teilnahme an der Klausur von einer aktiven Beteiligung am Übungsbetrieb abhängig machen.

Sprache: Deutsch

Verantwortlich:
Prof. Dr. Andreas Gastel.

Angebotsturnus:
jedes Semester

Grundlagen der Analysis (Analysis I und II)

Vorlesungen Analysis I und Analysis II mit je 4 SWS; begleitende Übungen Analysis I und Analysis II mit je 2 SWS (in Gruppen).

Inhalt

Die Vorlesungen Analysis I und II behandeln: (Die hier angegebene Reihenfolge ist nicht obligatorisch)

  1. Reelle und komplexe Zahlen, Zahlenfolgen, Zahlenreihen;
  2. Topologische Grundlagen, stetige Funktionen;
  3. Spezielle Funktionen: Wurzel, log, exp, sin, cos;
  4. Differenzierbare Funktionen einer reellen Veränderlichen, Taylor-Formel;
  5. Riemann Integral für Funktionen einer reellen Variablen, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung;
  6. Funktionenfolgen/-reihen;
  7. Weitere topologische Grundlagen des $\R{}^n$;
  8. Differenzierbare Abbildungen von $\R{}^n$ nach $\R{}^m$; Kettenregel;
  9. Satz von Taylor, Maxima und Minima (auch mit Nebenbedingungen), Inverse Funktionen, Implizite Funktionen;
  10. Analysis in metrischen und Banach-Räumen;
  11. Gewöhnliche Differentialgleichungen;
  12. Das $n$-dimensionale Riemann-Integral;
  13. Grundbegriffe der Vektoranalysis (Sätze von Gauß, Green, Stokes in $\R{}^2$ und $\R{}^3$);
  14. Elementare Fourier-Analysis.
    Optional im 1. Semester: Mengenlehre, Konstruktion der reellen Zahlen. Die Themen 1—5 sollten in der Vorlesung Analysis I behandelt werden. Stoff der Analysis II sind 6—9 und wenigstens eins der Themen 10—14. Die Übungen zur Analysis I und Analysis II finden in Kleingruppen statt. Der Stoff der Vorlesungen wird in wöchentlichen schriftlichen Aufgaben vertieft. Hier lernen Sie, mit Mathematik selbst umzugehen.

Lernziele

  • Erlernen grundlegender Begriffsbildungen der Analysis
  • Hinterfragen intuitiver Vorstellungen und Anwenden der Definitionen und Sätze
  • Selbständiges Führen einfacher Beweise
  • Darstellung der eigenständig erstellten Lösungen zu Übungsaufgaben und Vertretung der Lösungsvorschläge in der Diskussion

Literatur

  • Barner, Flohr: Analysis I/II. de Gruyter
  • Bröcker: Analysis I/II. BI Wissenschaftsverlag
  • Forster: Analysis I/II. Vieweg
  • Hildebrandt: Analysis I/II. Springer
  • Königsberger: Analysis I/II. Springer

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

je 270 Stunden (davon je 90 Stunden Präsenz), entspricht je 9 ECTS-Punkten pro Semester

Voraussetzungen (empfohlen)

Mathematische Ausbildung auf Gymnasialniveau, möglichst Leistungskurs. Aktive Teilnahme am Vorkurs Mathematik wird empfohlen.