Funktionalanalysis I

Vorlesung (4 SWS) und Übung (2 SWS)

Inhalt

• Topologische Vektorräume, insbesondere Banachräume; lineare Operatoren und Funktionale
• Grundprinzipien der Funktionalanalysis und Anwendungen: Satz von Baire, Satz von Banach-Steinhaus, Satz von der offenen Abbildung, Satz vom abgeschlossenen Graphen
• Die Sätze von Hahn-Banach, Trennung konvexer Mengen
• Dualitätstheorie, insbes. schwache Konvergenz und Reflexivität
• Differenzierbarkeit von Funktionen mit Werten in Banachräumen
• Kompakte Operatoren und deren Spektrum, Fredholmsche Alternative
• Hilberträume: Satz von Riesz-Fréchet, Satz von Lax-Milgram

Die Übungen zur Funktionalanalysis finden in Kleingruppen statt. Der Stoff der Vorlesung wird in wöchentlichen schriftlichen Aufgaben vertieft.

Lernziele

• Erlernen und Anwenden der funktionalanalytischen Grundbegriffe
• Die aufgeführten Lehrinhalte sollen beherrscht und in den begleitenden Übungen selbständig vertieft werden.
• Das Modul kann als Vorbereitung dienen für anschließende Seminare aus der Funktionalanalysis oder für weiterführende Vorlesungen aus den Gebieten der Differentialgleichungen, der Numerik, der Optimierung und der Stochastik.

Literatur

• D. Werner, Funktionalanalysis, Springer

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

270 Stunden (davon 90 Stunden Präsenz)

Voraussetzungen (empfohlen)

Grundlagen der Analysis und der Linearen Algebra, Analysis III