Eindimensionale Variationsrechnung

Vorlesung

Inhalt

Das Ziel der Variationsrechnung ist es, optimale Lösungen eines Problems zu finden und ihre Eigenschaften zu beschreiben. Zum Beispiel kann man die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf einer Fläche suchen.
Die Variationsrechnung spielt in Geometrie, Physik und Numerik eine wichtige Rolle.

Thema der Vorlesung ist eine Einführung in die Variationsrechnung in einer Dimension. Technisch betrachtet etwas einfacher, beleuchtet der eindimensionale Fall zahlreiche Phänomene, die auch bei mehrdimensionalen Problemen eine Rolle spielen.

Hauptthema wird die Frage nach der Existenz und den Eigenschaften von Minima – oder allgemeiner von Extrema – von Funktionalen sein. Funktionale ordnen einer Funktion $u=u(x)$, $x\in (a,b)$ eine reelle Zahl

$$ \mathcal{F}(u)=\int_a^b F(x,u(x),u’(x))\, dx$$

zu. Hierbei ist die Funktion $F$ gegeben und vom konkreten Problem abhängig.

Nach einer Einführung mit den klassichen Methoden, werden wir uns mit den moderneren sogenannten \glqq direkten Methoden\grqq\ vertraut machen.

Lernziele

Erlernen von Grundbegriffen und wichtigen Beweistechniken aus der Variationsrechnung

Literatur

B. Dacorogna, Introduction to The calculus of Variations, Imperial College Press, 2004.

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

90 Stunden, davon 30 Stunden Präsenz.

Voraussetzungen (empfohlen)

Analysis III