Evolutionsgleichungen

Vorlesung (4 SWS) und Übung (2 SWS)

Inhalt

Evolutionsgleichungen beschreiben ein System in Abhängigkeit von der Zeit in Form einer Operator-Differentialgleichung in einem Banachraum. Zahlreiche Phänomene in den Anwendungswissenschaften (u.a. in der Biologie (Wachstum von Populationen), Physik (Wärmeausbreitung), Chemie (Reaktions-Diffusions-Phänomene) und den Wirtschaftswissenschaften) lassen sich durch entsprechende Evolutionsgleichungen beschreiben. Im Rahmen dieser Vorlesung sollen die notwendigen funktionalanalytischen Methoden und Werkzeuge bereitgestellt und eingeübt werden, um entsprechende abstrakte Evolutionsgleichungen zu lösen und weitergehende Aussagen über Eigenschaften (Regularität, asymptotisches Verhalten) der Lösungen der entsprechenden Gleichungen treffen zu können. Konkrete Inhalte sind:

• lineare und nichtlineare Evolutionsgleichungen

• lineare Halbgruppen, Satz von Hille-Yosida und entsprechende Verallgemeinerungen

• nicht-homogene Cauchy-Probleme, semilineare Probleme

• Regularisierungseffekte, analytische Halbgruppen, maximale Regularität

• nichtlineare (akkretive) Operatoren und Halbgruppen, Satz von Crandall-Liggett

• Regularisierungseffekte im nichtlinearen Fall

Lernziele

• Die Studierenden beherrschen die aufgeführten Lehrinhalte und vertiefen diese in den begleitenden Übungen.

• Erlernen und Anwenden fortgeschrittener abstrakter, funktionalanalytischer Konzepte und Methoden zur Untersuchung von Anfangsrandwertproblemen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen (u.a. die Poröse-Medien-Gleichung)

• Schulung des Abstraktionsvermögens, Erweiterung der Problemlösungskompetenzen

• Ausbau der Fähigkeit der Interpretation und Anwendung der von der abstrakten Theorie gelieferten Ergebnisse auf relevante Probleme in der Praxis

Literatur

• A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer
• K.J. Engel u. R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer
• V. Barbu, Nonlinear differential equations of monotone types in Banach spaces, Noordhoff
• T. Roubicek, Nonlinear partial differential equations with applications, Birkhäuser
• E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications: Linear and nonlinear monotone operators, Vol. II A+B, Springer

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

270 Stunden (davon 90 Stunden Präsenz)

Zulassungsvoraussetzungen

Grundlagen der Linearen Algebra, Analysis I-III, Funktionalanalysis I