Theorie und Numerik geometrischer partieller Differentialgleichungen

Vorlesung/4 SWS und Übung/2 SWS

Inhalt

Geometrische Differentialgleichungen sind partielle Differentialgleichungen, die geometrische Terme enthalten. Ein wichtiges Beispiel ist die Minimalflächengleichung

$ \nabla \cdot \left(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}} \right)=0, $

welche die Tatsache beschreibt, dass die Fläche $\{ (x, u(x))\,|\, x \in G\}$ mittlere Krümmung Null hat.

Die geometrischen Differentialgleichungen treten in der Differentialgeometrie und in vielen Anwendungen auf, zum Beispiel bei Problemen mit Phasenübergängen, wie dem Wachstum eines Kristalls, bei der Modellierung von Zellmembranen und auch in der Bildverarbeitung.

In dieser Vorlesung werden Grundkenntnisse vermittelt und Beispiele gezeigt, die den Einsteig in das Gebiet ermöglichen sollen. Der Schwerpunkt liegt bei der numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen auf Flächen, die sich gegebenenfalls in der Zeit bewegen.

Das Thema ist auf eine sehr schöne Art fachübergreifend. Die notwendigen Kenntnisse aus den verschiedenen mathematischen Gebieten werden vermittelt bzw. wiederholt.

Lernziele

Erlernen fortgeschrittener Beweistechniken der numerischen Mathematik. Diese Kenntnisse sollen zu einer Master-Arbeit oder der Verbreiterung des mathematischen Horizontes dienen.

Die aufgeführten Lehrinhalte sollen beherrscht und in den begleitenden Übungen selbständig vertieft werden. Die Übungen können auch eine praktische Komponente enthalten, bei der numerische Verfahren am Rechner entwickelt und getestet werden.

Literatur

Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

270 Stunden (davon 90 Stunden Präsenz)

Voraussetzungen (empfohlen)

Analysis III
Numerik partieller Differentialgleichungen