Theorie der großen Abweichungen

Vorlesung mit integriertem Seminar/Lesekurs

Inhalt

Die Theorie der großen Abweichungen beschäftigt sich mit der Asymptotik der Wahrscheinlichkeiten seltener Ereignisse. Die exponentielle Abfallrate dieser Wahrscheinlichkeiten wird in Termen einer Variationsformel ausgedrückt, deren Wert und deren Minimierer interessante Rückschlüsse auf die Ereignisse zulassen. Die Theorie der großen Abweichungen gibt damit die mathematische Grundlage sehr weit reichender Anwendungen in Wahrscheinlichkeitstheorie, Finanzmathematik, Risikotheorie, Statistik, Operations Research, Ergodentheorie, Informationstheorie, Statistischer Physik, Theoretischer Chemie, und so weiter. In dieser Vorlesung soll die zum Teil abstrakte Theorie vorgestellt und exemplarisch an Modellen erläutert werden, in denen die Theorie großer Abweichungen einen entscheidenden Beitrag leistet.

1. Satz von Cramer
2. Satz von Sanov
3. Kontraktionsprinzip
4. Lemma von Varadhan
5. Gärtner-Ellis Theorem Ausgewählte Anwendungen: Ruinwahrscheinlichkeiten, Warteschlangen, Zufällig gestörte dynamische Systeme, Aufenthaltmaße zeitstetiger Irrfahrten, Spektrum zufälliger Matrizen, Curie-Weiß-Modell, …

Lernziele

Die aufgeführten Lehrinhalte sollen beherrscht und in den begleitenden Übungen selbständig vertieft werden.
Die Vorlesung wird von einem Blockseminar/Lesekurs begleitet, in denen die Studierenden die komplexe Theorie
anhand einer mathematischen Originalarbeit durchdringen können. Durch diesem Kurs werden Studierende befähigt, eine Master- bzw. Promotionsarbeit in der Wahrscheinlichkeitstheorie zu schreiben.

Literatur

• Amir Dembo and Ofer Zeitouni; Large Deviations: Techniques and Applications, 1998
• Jean Dominique Deuschel and Daniel Strook; Large Deviations, 1984
• Jin Feng and Thomas G. Kurtz, Large Deviations for Stochastic Processes, AMS 2006

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

180-270 Stunden