Titel Englisch: Riemannian geometry I

Bereich: Ma Erweiterungsbereich

Wahlpflichtmodul

Schwerpunkt: Analysis

ESSEN

Studierbar ab Fachsemester: M1

ECTS-Punkte: 9,

Prüfungsform: Die ECTS-Punkte werden auf Grund einer mündlichen oder schriftlichen Prüfung innerhalb von drei der Veranstaltung folgenden Monaten vergeben. Innerhalb von sechs Monaten nach der Prüfung besteht Möglichkeit zur Nachprüfung. Die Prüfungsleistung wird benotet. Die Lehrenden werden die Modalitäten der Prüfung zu Beginn der Veranstaltungen festlegen.

Sprache: In der Regel Deutsch.

Verantwortlich:
Prof. Dr. Andreas Gastel.

Angebotsturnus:
WS oder SS, nicht jährlich

Riemannsche Geometrie I

Vorlesung (4 SWS) mit Übungen (2 SWS)

Inhalt

Die wesentlichen Konzepte der Riemannschen Geometrie werden vorgestellt, etwa mit einer Auswahl aus der folgenden Liste:

  • Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
  • Riemannsche Mannigfaltigkeiten
  • Tangentialbündel (oder allgemeiner Vektorbündel), Zusammenhänge, Levi-Civita-Zusammenhang
  • Lie-Gruppen und ihre Operationen
  • Geodätische, Exponentialabbildung und Vollständigkeit
  • Riemannsche Schnittkrümmung, Ricci- und Skalarkrümmung
  • zweite Fundamentalform
  • 1. und 2. Variation der Länge von Kurven
  • Rauchsche Vergleichssätze, Satz von Bonnet-Myers, Sphärensatz

Lernziele

Die Studierenden lernen, wie Konzepte aus der Analysis benutzt werden, um geometrische Begriffe zu formalisieren und für Berechnungen zugänglich zu machen. Sie entwickeln eine Anschauung geometrischer Räume und lernen, geeignete Konzepte für gegebene geometrische Fragestellungen zu benutzen. In den Übungsaufgaben lernen sie auch die spezifischen Rechenmethoden der Riemannschen Geometrie kennen, insbesondere das Rechnen mit Tensoren. In den Übungsgruppen werden die Ergebnisse präsentiert und diskutiert.

Literatur

  • doCarmo: Riemannian Geometry
  • Gallot, Hulin, Lafontaine: Riemannian Geometry
  • Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis
  • Gromoll, Klingenberg, Meyer: Riemannsche Geometrie im Großen

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

270 Stunden, davon 90 Stunden Präsenz