Elementare Lie-Theorie

Vorlesung/4 SWS und Übung/2 SWS

Inhalt

Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren anhand von Matrizengruppen. Hierbei werden sowohl geometrische wie auch algebraische Aspekte betrachtet. Es wird eine Auswahl der folgenden sowie ggfs. weitere Themen behandelt:

• die klassischen Gruppen
• die Exponentialabbildung für Matrizen
• Lie-Algebren
• elementare Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und -Algebren
• die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel und ihre Konsequenzen
• differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder
• Einparameter-Untergruppen
• Gruppenwirkungen
• Homogene Räume

Die zugehörigen Übungen finden in Kleingruppen statt. Der Stoff der Vorlesungen wird in wöchentlichen schriftlichen Aufgaben vertieft.

Lernziele

Die Teilnehmer*innen lernen die klassischen Gruppen kennen und interpretieren aus der Linearen Algebra bekannte Sätze in diesem Kontext neu. Sie können explizit mit Darstellungen dieser Gruppen und ihrer Lie-Algebren rechnen und kennen die Grundprinzipien der Darstellungstheorie. Sie erwerben Grundkenntnisse in der Geometrie von Mannigfaltigkeiten und wenden diese im Spezialfall homogener Räume an. Damit erwerben die Teilnehmer*innen Kompetenzen, die für weiterführende Seminare und Erweiterungsmodule z.B. über Riemannsche Geometrie oder Algebraische Gruppen erforderlich sind.

Literatur

• B. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations – An Elementary Introduction, Springer, 2015
• W. Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen – Eine geometrische Einführung, Vieweg+Teubner, 2011

Weitere Literatur wird in den Veranstaltungen bekanntgegeben.

Arbeitsaufwand

270 Stunden (davon 90 Stunden Präsenz)

Voraussetzungen (empfohlen)

Grundlagen der Analysis (Analysis I und II)
Grundlagen der Linearen Algebra (Lineare Algebra I und II)